[CS 1-2 | 이산수학] 함수 7주차

함수

• 함수 f는 A의 원소 각각에 B의 원소를 단 하나만 대응시킨 것이다.
  
  • 정의역 : A의 모든 원소
  • 공역 : B의 모든 원소
  • 치역 : 정의역의 각 원소에 실제로 대응되는 값만 모아놓은 B의 부분집합 (공역의 부분집합)

 

#함수의 예시

f가 A로부터 B로의 함수일 때 f : A -> B
라고 쓴다.

 

다음은 공역, 치역의 개념을 잘 이해할 수 있는 예제 문제이다.

 

 

함수의 연산

함수는 곱하기와 덧셈 연산이 성립한다. 

 

 

단사함수 - 일대일 함수

• f의 정의역에 속한 모든 a와 b에 있어서 f(a) = f(b)이면 반드시 a = b 일 때, 함수 f를 단사함수라고 한다.
  
  • 일대일 함수를 의미한다.
  • 공역에 있는 원소가 정의역에 있는 원소에 대해 화살표를 하나만 맞을 때,
    단사 함수라고 한다. - 수학적 개념을 풀어쓴 이해 ㅎㅎ

 

# 단사함수가 보장되는 조건

• 증가함수
  • 단조 증가함수 | 무조건 증가하는 함수
    
    
• 감소함수
  • 단조 감소함수 | 무조건 감소하는 함수

 

 

전사 함수
- 공역에 있는 모든 원소가 정의역에 있는 모든 원소의 화살표를 모두 매핑이 된 함수

 

• 정의역 A, 공역 B가 있을 때, b ∈ B인 모든 원소에 대하여 f(a) = b인 원소 a ∈ A가 존재할 경우 f를 전사 함수라고 한다.
  • 치역과 공역이 같은 경우, 즉, 공역에 속하는 모든 원소가 정의역에 속하는 어떤 원소와 매핑이 되는 경우를 전사 함수라 한다

 

 

전단사 함수 - 일대일 함수

• 단사 함수이고, 동시에 전사 함수인 함수를 전단사 함수라고 한다.
  • 모든 정의역의 원소가 모든 공역의 원소에 대해 매핑이 되고, 이 매핑된 건 고유할 때 전단사 함수라고 한다.

  

단사 함수와 전사 함수 판정

 

 

역함수

• f의 역함수는 B의 원소 b에 A의 원소 a를 다른 것과 중복되지 않게 대응시키는 함수이다.
  • 즉, f(a) = b인 f의 역함수는 f^{-1}로 표기하고 f^{-1}(b) = a인 함수이다.
    
    
• 함수 f가 전단사 함수가 아니면 역함수를 만들 수 없다.
  • 함수의 의미로 보면, 단사 함수, 전사 함수의 공역이 정의역으로 바꿔서 생각해보면
    단사, 전사 함수의 역함수는 함수가 아니게 되어버리기 때문이다 ㅎㅎ..
    
    

따라서, 역함수에 대해 정리해보자.

• 전단사 함수는 역함수를 만들 수 있으므로 가역 함수라고 한다.
• 전단사 함수가 아닌 경우 비가역 함수라고 한다.

가역함수 : 전단사 함수

비가역 함수 : 전단사 함수가 아닌 모든 함수

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함수의 활용 - 함수의 합성

• 주의할 점은, g의 치역이 f의 정의역의 부분집합이 아니면 합성 함수 f - g는 정의할 수가 없다.

 

 

함수의 그래프

• f를 집합 A로부터 B로의 함수라고 하면 함수 f의 그래프는 {(a,b) | a ∈ A 이고 f(a) = b, b ∈ B }인 순서쌍의 집합이다.

아래 예제를 통해 그래프와 관련한 시험에 출제만을 확인하자 ㅎㅎ

 

 

바닥 함수와 천장 함수 - 가우스 함수

• 쉽게말해서 내림과 올린 함수라고 생각하면 되겠다.
  • 가우스 함수와 같다.

 

 

# 바닥함수는 가우스 기호가 밑에만 꺽여있고, 천장함수는 가우스 기호가 위에만 꺽여있다.

바닥함수 & 천장함수